Welcome to My Blog!

Misalkan suatu bilangan riil \(\lambda \geq 0\) dan misalkan \(A\) adalah himpunan terbatas bawah. Buktikan bahwa himpunan \(\lambda A = \left \{\lambda x : x \in A \right \} \) juga terbatas bawah serta \(\textrm{inf} \left ( \lambda A \right ) = \lambda \textrm{inf} \left ( A \right )   \).

Untuk membuktikan \(\textrm{inf} \left ( \lambda A \right ) = \lambda \textrm{inf} \left ( A \right )   \), kita cukup buktikan  \(\textrm{inf} \left ( \lambda A \right ) \geq \lambda \textrm{inf} \left ( A \right )   \) dan  \(\textrm{inf} \left ( \lambda A \right ) \leq \lambda \textrm{inf} \left ( A \right )   \). Apabila kedua pertidaksamaan itu benar, maka kedua ruas haruslah sama. Eh, tapi kan bukannya kita harus buktiin dulu \( \lambda A \) terbatas bawah sehingga ada infimumnya? Well, pembuktian ia terbatas bawah bakal sekali jalan dengan pembuktikan \(\textrm{inf} \left ( \lambda A \right ) \geq \lambda \textrm{inf} \left ( A \right )   \).

Pertama-tama, mari kita tunjukan \(\textrm{inf} \left ( \lambda A \right ) \geq \lambda \textrm{inf} \left ( A \right )   \). Caranya sangatlah mudah. Idenya adalah kita tinggal tunjukkan bahwa \( \lambda \textrm{inf} \left ( A \right ) \) adalah batas bawah dari himpunan \( \lambda A \) kemudian gunakan definisi infimum sebagai batas bawah terbesar untuk menyimpulkan bahwa \(\textrm{inf} \left ( \lambda A \right ) \geq \lambda \textrm{inf} \left ( A \right )   \).

Okay, mari kita mulai. Ambil \( x \in \lambda A \). Berdasarkan definisi himpunan \( \lambda A \) maka terdapat \( a \in A \) sedemikian sehingga \( x = \lambda a \). Selanjutnya, karena \( a \in A \) dan \(\textrm{inf} \left ( A \right )   \) adalah batas bawah dari \( A \) maka kita peroleh \( a \geq \textrm{inf} \left ( A \right )   \). Mengingat \(\lambda \geq 0\) maka kita juga peroleh  \( x = \lambda a \geq \lambda \textrm{inf} \left ( A \right )\). Karena ini berlaku untuk \( x \in \lambda A \) sebarang, maka kita bisa simpulkan himpunan \( \lambda A \) adalah himpunan terbatas bawah dengan batas bawah \( \lambda \textrm{inf} \left ( A \right ) \). Karena \( \lambda A \) terbatas bawah maka berdasarkan sifat subset dari himpunan semua bilangan riil \( \mathbb{R} \), \( \lambda A \) punya batas bawah terbesar (infimum) \(\textrm{inf} \left ( \lambda A \right ) \) sedemikian sehingga \(\textrm{inf} \left ( \lambda A \right ) \geq \lambda \textrm{inf} \left ( A \right )   \).

Nah, kita sudah membuktikan \(\textrm{inf} \left ( \lambda A \right ) \geq \lambda \textrm{inf} \left ( A \right )   \) sekaligus membuktikan keberadaan  \(\textrm{inf} \left ( \lambda A \right ) \) itu sendiri. Sekarang, kita akan membuktikan pertidaksamaan yang satunya yakni  \(\textrm{inf} \left ( \lambda A \right ) \leq \lambda \textrm{inf} \left ( A \right )   \). Untuk membuktikan ini kita bagi 2 kasus yakni kasus \( \lambda = 0 \) dan kasus \( \lambda > 0 \).

Untuk \( \lambda = 0 \) jelas bahwa 

\(\textrm{inf} \left ( \lambda A \right ) = \textrm{inf} \left \{ 0 \right \} = 0 \leq 0 = 0 \cdot \textrm{inf} \left ( A \right ) =  \lambda \textrm{inf} \left ( A \right )  \).

Untuk \( \lambda > 0 \), kira-kira idenya apa yah? Ingat tujuan kita adalah mau buktiin  \(\textrm{inf} \left ( \lambda A \right ) \leq \lambda \textrm{inf} \left ( A \right )   \). Gimana kalau kita bagi kedua ruas dengan \( \lambda \)? Mungkin ide yang bagus, nanti kita peroleh pertidaksamaan berikut ini. 

 \(\frac {\textrm{inf} \left ( \lambda A \right )}{\lambda} \leq  \textrm{inf} \left ( A \right )   \)

Pertidaksamaan baru ini ekuivalen atau maknanya sama aja dengan pertidaksamaan awal tadi yakni  \(\textrm{inf} \left ( \lambda A \right ) \leq \lambda \textrm{inf} \left ( A \right )   \). Jadi, kita cukup buktikan pertidaksamaan baru ini untuk membuktikan pertidaksamaan yang awal tadi.

Untuk membuktikan  \(\frac {\textrm{inf} \left ( \lambda A \right )}{\lambda} \leq  \textrm{inf} \left ( A \right )   \), kita bisa gunakan cara yang mirip dengan cara yang sebelumnya. Kita tinggal tunjukkan kalau  \(\frac {\textrm{inf} \left ( \lambda A \right )}{\lambda} \) adalah batas bawah dari himpunan \( A \). Dengan begitu, pastilah si \(\frac {\textrm{inf} \left ( \lambda A \right )}{\lambda} \) tidak mungkin lebih besar dari infimum \( A \).

Mari kita buktikan. Ambil sebarang elemen \( a \in A \). Perhatikan bahwa \( \lambda a \in \lambda A \). Berdasarkan definisi infimum maka kita peroleh \(\textrm{inf} \left ( \lambda A \right ) \leq \lambda a  \). Selanjutnya, kita bagi kedua ruas dengan \( \lambda > 0 \) maka kita peroleh \(\frac {\textrm{inf} \left ( \lambda A \right )}{\lambda} \leq  a   \). Karena \( a \) sebarang elemen di \( A \) maka dapat kita simpulkan \(\frac {\textrm{inf} \left ( \lambda A \right )}{\lambda}   \) adalah batas bawah dari \( A \) sehingga berdasarkan definisi infimum maka berlaku pula  \(\frac {\textrm{inf} \left ( \lambda A \right )}{\lambda} \leq  \textrm{inf} \left ( A \right )   \). Tinggal kalikan kedua ruas dengan \( \lambda > 0 \), kita telah membuktikan pertidaksamaan awal  \(\textrm{inf} \left ( \lambda A \right ) \leq \lambda \textrm{inf} \left ( A \right )   \).

Karena \(\textrm{inf} \left ( \lambda A \right ) \geq \lambda \textrm{inf} \left ( A \right )   \) dan \(\textrm{inf} \left ( \lambda A \right ) \leq \lambda \textrm{inf} \left ( A \right )   \) maka haruslah \(\textrm{inf} \left ( \lambda A \right ) = \lambda \textrm{inf} \left ( A \right )   \). Terbukti.

Nah, gimana? Keren dan menyenangkan, bukan? Kalau kita perhatikan sepertinya syarat \(\lambda \geq 0\) sangat penting agar keduanya bisa sama atau bahkan agar \(\textrm{inf} \left ( \lambda A \right ) \) ada. Kira-kira apakah kalian bisa buat contoh kesamaan tidak terjadi saat \(\lambda < 0\)?