Mari kita singkirkan terlebih dahulu pembicaraan kita tentang bilangan kompleks. Sekarang, kita bicara bilangan-bilangan kompleks khusus yakni bilangan kompleks yang tidak mempunyai bagian imajiner (atau bagian imajinernya \( 0 \)). Bilangan-bilangan kompleks yang kita sering gunakan sehari-hari ini disebut bilangan riil.
Ada sifat yang dimiliki oleh semua bilangan riil yang tidak dimiliki oleh bilangan kompleks. Kita bisa bicarakan mana bilangan riil yang lebih besar atau kecil dari bilagan riil yang lain, misalnya saja bilangan \(3\) lebih besar dari \(2\), \(\frac{1}{2}\) lebih kecil dari 1, serta semua bilangan negatif lebih kecil dari semua bilangan positif.
Sesuai judul, kita akan membahas himpunan terbatas atas dan himpunan terbatas bawah yang merupakan subhimpunan dari himpunan bilangan riil \(\mathbb{R}\).
Kapan Suatu Himpunan Dikatakan Terbatas Atas/Bawah?
Suatu himpunan yang merupakan subhimpunan dari himpunan bilangan riil dikatakan terbatas di bawah apabila terdapat bilangan riil yang tidak lebih dari semua elemen di himpunan tersebut.
Contoh:
Perhatikan himpunan semua bilangan positif berikut.
\( \mathbb{P} = \left \{ x \in \mathbb{R} : x > 0 \right \} \)
Jelas bahwa \(0\) tidak lebih dari semua bilangan di himpunan tersebut. Jadi, himpunan \(\mathbb{P}\) terbatas bawah oleh \(0\) karena tidak ada elemen dari \(\mathbb{P}\) yang lebih kecil dari \(0\). Dalam hal ini, kita bisa sebut \(0\) adalah batas bawah dari \(\mathbb{P}\). Apakah ada batas bawah lain? Jawabannya adalah ada, semua bilangan negatif juga adalah batas bawah dari \(\mathbb{P}\).
Jadi, suatu himpunan \( A \subseteq \mathbb{R} \) dikatakan "terbatas bawah" apabila terdapat \( r \in \mathbb{R} \) sedemikian sehingga untuk setiap \( a \in A \) berlaku \( r \leq a \). Adapun semua bilangan riil \( r \) yang memenuhi sifat tersebut kita sebut sebagai "batas bawah" dari \( A \).
Sebaliknya, tentu kalian bisa menebaknya. suatu himpunan \( A \subseteq \mathbb{R} \) dikatakan "terbatas atas" apabila terdapat \( r \in \mathbb{R} \) sedemikian sehingga untuk setiap \( a \in A \) berlaku \( r \geq a \). Adapun semua bilangan riil \( r \) yang memenuhi sifat tersebut kita sebut sebagai "batas atas" dari \( A \).
Suatu himpunan bisa terbatas bawah saja, bisa terbatas atas saja, bisa keduanya, ataupun tidak kedua-duanya. Contoh di atas yakni himpunan \(\mathbb{P}\) adalah contoh himpunan yang terbatas bawah tapi tidak terbatas atas. Apakah kalian bisa memberikan contoh-contoh himpunan yang terbatas atas saja, yang keduanya, serta yang tidak keduanya?
Supremum dan Infimum
Saat membicarakan batas atas atau batas bawah dari suatu himpunan, mungkin kalian bakalan berpikir tentang batas atas terkecil atau batas bawah terbesar yakni batas yang mentok gitu. Kalau kita perhatikan himpunan \(\mathbb{P}\) tadi yang punya batas bawah \(0\), kita bisa lihat bahwa tidak ada batas bawah yang lebih besar lagi. Jadi, \(0\) adalah batas bawah paling besar dari \(\mathbb{P}\). Si \(0\) udah paling mentok, gak bisa ada lagi bilangan yang lebih besar dan bisa menjadi batas bawah. Nah, batas bawah terbesar ini kita sebut sebagai "infimum". Ada juga yang namanya batas atas terkecil yang kita sebut sebagai "supremum".
Salah satu sifat dari himpunan bilangan riil adalah semua subhimpunannya yang terbatas atas pasti punya supremum. Sebaliknya, semua subhimpunannya yang terbatas bawah pasti punya infimum. Kenapa bisa gitu? Untuk saat ini, kalian terima saja terlebih dahulu. Kalau bisa kalian intuisikan, bayangkan garis bilangan riil terus kita ambil mungkin sebarang interval atau sebarang subset yang terbatas atas atau bawah, kita bisa bayangkan ada posisi letak dimana infimum atau supremum itu ada saking padatnya garis bilangan riil itu. Jika \( A \) adalah himpunan terbatas bawah maka kita notasikan infimum dari \( A \) adalah \(\textrm{inf} \left ( A \right ) \) serta jika \( A \) terbatas atas kita notasikan supremumnya adalah \(\textrm{sup} \left ( A \right ) \)
Mohon maaf kalau kurang contoh yang saya berikan dan mohon maaf kalau tulisan saya ini banyak yang kurang dimengerti. Kalian bisa langkahi tulisan ini dan masuk ke tulisan-tulisan berikutnya sehingga suatu hari ingat lagi dan baca tulisan ini lagi.
Okay, waktunya saya berikan soal yang mungkin lumayan mudah untuk dibuktikan.
Latihan Soal
Misalkan suatu bilangan riil \(\lambda \geq 0\) dan misalkan \(A\) adalah himpunan terbatas bawah. Buktikan bahwa himpunan \(\lambda A = \left \{\lambda x : x \in A \right \} \) juga terbatas bawah serta
\(\textrm{inf} \left ( \lambda A \right ) = \lambda \textrm{inf} \left ( A \right ) \)
Bagi kalian yang sudah paham dan mengerti, kalian bisa coba untuk buktikan. Bagi kalian yang belum mengerti, kalian bisa tinggalkan dan lanjut ke tulisan saya selanjunya. Jawaban dari soal ini juga akan saya tulis di tulisan selanjutnya.
Share On
Tidak ada komentar:
Posting Komentar