Welcome to My Blog!

Melanjutkan tulisan sebelumnya. Pada tulisan ini, saya akan menjawab soal yang ada di tulisan sebelumnya yakni mencari banyak anggota atau kardinalitas dari himpunan \( A \cup B \), dengan \( A = \left \{ z \in \mathbb{C} : z^6 = 1 \right \} \) dan \( B = \left \{ z \in \mathbb{C} : z^9 = 1 \right \} \).

Karena kebetulan isi dari himpunan ini dikit, coba kita daftarin satu-satu anggotanya.

Anggota-anggota dari himpunana \( A \) adalah:

• \( \cos \left ( \frac{2 \pi}{6} \right ) + i \sin \left ( \frac{2 \pi}{6} \right ) = \cos \left ( \frac{\pi}{3} \right ) + i \sin \left ( \frac{ \pi}{3} \right ) = \frac{1}{2} + i \frac{1}{2} \sqrt{3} \),
• \( \cos \left ( \frac{4 \pi}{6} \right ) + i \sin \left ( \frac{4 \pi}{6} \right ) =  \cos \left ( \frac{2\pi}{3} \right ) + i \sin \left ( \frac{2 \pi}{3} \right ) = -\frac{1}{2} + i \frac{1}{2} \sqrt{3} \),
• \( \cos \left ( \frac{6 \pi}{6} \right ) + i \sin \left ( \frac{6 \pi}{6} \right ) = \cos \left ( \pi \right ) + i \sin \left ( \pi \right ) = -1 \),
• \( \cos \left ( \frac{8 \pi}{6} \right ) + i \sin \left ( \frac{8 \pi}{6} \right ) =  \cos \left ( \frac{4\pi}{3} \right ) + i \sin \left ( \frac{4 \pi}{3} \right ) = -\frac{1}{2} - i\frac{1}{2} \sqrt{3} \),
• \( \cos \left ( \frac{10 \pi}{6} \right ) + i \sin \left ( \frac{10 \pi}{6} \right ) = \cos \left ( \frac{5 \pi}{3} \right ) + i \sin \left ( \frac{5 \pi}{3} \right ) = \frac{1}{2}  - i \frac{1}{2} \sqrt{3} \), dan
• \( \cos \left ( \frac{12 \pi}{6} \right ) + i \sin \left ( \frac{12 \pi}{6} \right ) = \cos \left (2 \pi \right ) + i \sin \left ( 2 \pi \right ) = 1 \).

Jadi, \( A \cup B \) mempunyai 12 anggota.

Cara Lebih Mudah

Ada cara lain yang lebih mudah untuk mementukan banyak anggota dari \( A \cup B \). Kita tahu bahwa himpunan \( A \) pasti mempunyai 6 anggota dan himpunan \( B \) pasti mempunyai 9 anggota. Kalau kita jumlahkan, 6 + 9 maka hasilnya adalah 12. Tentu saja, dalam penambahan tersebut, terdapat anggota yang terhitung 2 kali mengingat \( A \) dan \( B \) mempunyai anggota yang sama.

Bilangan kompleks \( z \) yang terdapat di \( A \) dan sekaligus terdapat di \( B \) haruslah memenuhi kedua persamaan \( z^6 = 1 \) dan \( z^9 = 1 \). Dari kedua persamaan tersebut, kita peroleh \( z^6 = z^3 \). Karena \( z \neq 0 \), kita bisa bagi kedua ruas dengan \( z^3 \) sehingga diperoleh \( z^3 = 1 \).

Perhatikan bahwa \( z^3 = 1 \) mempunyai 3 solusi, dan ketiga solusi tersebut pasti memenuhi kedua persamaan  \( z^6 = 1 \) dan \( z^9 = 1 \) sebab \(z^6 = z^{3}z^{3} = 1 \cdot 1 = 1 \) dan \(z^9 = z^{3}z^{3}z^{3} = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1  \). Dengan demikian, semua elemen yang sama dari \( A \) dan \( B\) adalah solusi dari \( z^3 = 1 \) dan solusi dari \( z^3 = 1 \) adalah elemen dari \(A \) sekaligus elemen dari \(B\). Jadi, \( A \) dan \( B \) punya 3 elemen yang sama. Berarti banyaknya elemen dari \(A \cup B \) adalah \(6 + 9 - 3 = 12 \).

Geometri

Secara geomentri, kita dapat lihat bahwa himpunan \( A \) adalah himpunan titik-titik yang ada pada lingkaran sedemikian sehingga membentuk segienam beraturan dengan titik tersebut adalah titik sudutnya. Adapun \( B \) juga sama, merupakan himpunan titik sudut pada segisembilan beraturan. Segienam dan segisembilan tersebut mempunyai 3 titik sudut yang sama yakni titik solusi dari \(z^3 = 1 \).

Share On